Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=

3

2

，点P为椭圆上一动点，点F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，且△PF₁F₂面积的最大值为

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆短轴的上端点为A，点M为动点，且

1

5

|

F2A

|²，

1

2

F2M

•

AM

，

AF1

•

OM

成等差数列，求动点M的轨迹C₂的方程．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的方程，利用离心率和a，b与c的关系求得a和b的关系，根据椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，△PF₁F₂的面积最大，进而求得bc的关系，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）根据（1）中的方程求得A和两焦点坐标，设出M的坐标，利用

F2A

，

F2M

，

AM

，

AF1

根据已知条件求得x和y的关系，点M的轨迹方程可得．

解答：解：（1）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，则

c

a

=

3

2

，所以a=2b、
由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，
△PF₁F₂的面积最大，故

1

2

|F₁F₂|b=bc=

3

，
解得a=2，b=1．
故所求椭圆方程为

x2

4

+y²=1．
（2）由（1）知A（0，1），F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
设M（x，y），则

F2A

=（-

3

，1），

F2M

=（x-

3

，y），

AM

=（x，y-1），

AF1

=（-

3

，-1）．
由已知条件得x（x-

3

）+y（y-1）=

4

5

-

3

x-y，整理，得M的轨迹C₂的方程为x²+y²=

4

5

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基础知识的整体把握和综合运用．