题目内容
某地位于沙漠边缘地区，人与自然进行长期顽强的斗争，到2001年底全地区的绿化率已达到30%，从2002年开始，每年将出现下列变化：原沙漠面积的16%将栽上树改造为绿洲，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠，
（1）设全地区面积为1，2001年底绿洲面积为a1=
，经过一年绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an+1，写出an与an+1的关系式并求证数列{an-
}是等比数列；
（2）问经过努力到哪一年才能使全县的绿洲面积超过60%．
（1）设全地区面积为1，2001年底绿洲面积为a1=
| 3 |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
（2）问经过努力到哪一年才能使全县的绿洲面积超过60%．
分析：（1）根据题意利用今年的绿化面积表示出明年的绿化面积是解决本题的关键，弄清楚今年的绿化面积与明年绿化面积之间的关系，将文字语言表示为数学语言，根据等比数列的定义可证得数列{an-
}是等比数列；
（2）根据（1）中得出该数列的通项公式是解决本题的关键，利用指数式和对数式之间的关系确定出合题意的年份．
| 4 |
| 5 |
（2）根据（1）中得出该数列的通项公式是解决本题的关键，利用指数式和对数式之间的关系确定出合题意的年份．
解答：解：（1）证明：由已知可得an确定后，an+1表示如下：an+1=an•（1-4%）+（1-an）•16%
即an+1=80%an+16%=
an+
由an+1=
an+
可得：an+1-
=
（an-
）
即
=
，a1-
=-
∴数列{an-
}是以-
为首项，公比为
的等比数列
（2）由（1）得an-
=（-
）×（
）n-1，即an=（-
）×（
）n-1+
则an+1=（-
）×（
）n+
≥
即
≥（
）n-1
两边同时取对数可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）
故n≥
+1＞4，故使得上式成立的最小n∈N*为5，
答：最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%．
即an+1=80%an+16%=
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| 4 |
| 25 |
由an+1=
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| 25 |
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| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
即
an+1-
| ||
an-
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| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
∴数列{an-
| 4 |
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| 5 |
（2）由（1）得an-
| 4 |
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| 1 |
| 2 |
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则an+1=（-
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| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
即
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
两边同时取对数可得-lg2≥（n-1）（2lg2-lg5）=（n-1）（3lg2-1）
故n≥
| lg2 |
| 1-3lg2 |
答：最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%．
点评：本题考查数列在实际问题中的应用，考查探索数列递推关系的数学模型意识，关键要将题目中的文字语言转化为数学语言，考查学生根据数列的递推关系确定通项公式的方法，考查学生对数的运算、转化与化归思想方法．
练习册系列答案
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，经过1年(指2000年底)绿洲面积为
，经过n年绿洲面积为
，求证：数列
是等比数列．