题目内容
形如
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(1)设点M(-2,1)在
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(2)设数列{an} 的前n项和为Sn ,且对任意正整数n,点A(Sn,n)在
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(3)在(2)的条件下,设bn为数列{1-
1 |
an |
an+1 |
分析:(1)根据二阶矩阵与平面列向量的乘法的乘法规则,将问题转化为矩阵的计算;
(2)由题意Sn=n2+n,从而可求an的表达式;
(3)构造函数,利用函数的单调性解决恒成立问题.
(2)由题意Sn=n2+n,从而可求an的表达式;
(3)构造函数,利用函数的单调性解决恒成立问题.
解答:解:(1)∵
=
∴点M′的坐标为(1,-2);
(2)∵
=
,∴A′(n,Sn)
∵点A′(n,Sn)在函数f(x)=x2+x的图象上,∴Sn=n2+n
当n=1时,a1=S1=2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n
a1=2满足上式,∴an=2nn∈N*
(3)bn=(1-
)(1-
)(1-
),设Fn=(1-
)(1-
)(1-
)
∵
=
<1
∴F(n)>F(n+1),F(n)单调递减.
∴当n=1时,F(n)取最大值
要使不等式bn
<a对一切n∈N*都成立,只需a>
所以a的取值范围为(
,+∞)
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(2)∵
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∵点A′(n,Sn)在函数f(x)=x2+x的图象上,∴Sn=n2+n
当n=1时,a1=S1=2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n
a1=2满足上式,∴an=2nn∈N*
(3)bn=(1-
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an |
2n+1 |
∵
F(n+1) |
F(N) |
| ||||
2n+2 |
∴F(n)>F(n+1),F(n)单调递减.
∴当n=1时,F(n)取最大值
| ||
2 |
要使不等式bn
an+1 |
| ||
2 |
所以a的取值范围为(
| ||
2 |
点评:在二阶矩阵对应的变换作用下,它将平面上任意一个点(向量)(x,y)对应惟一的一个平面点(向量)(x′,y′).数列中的恒成立问题,通常可借助于构造的函数的单调性进行解决.
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