题目内容

形如
ab
cd
的式子叫做二行二列矩阵,定义矩阵的一种运算
ab
cd
x
y
=
ax+bx
cx+dy
.该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵
ab
cd
的作用下变换成点(ax+by,cx+dy).
(1)设点M(-2,1)在
01
10
的作用下变换成点M′,求点M′的坐标;
(2)设数列{an} 的前n项和为Sn ,且对任意正整数n,点A(Sn,n)在
01
10
的作用下变换成的点A′在函数f(x)=x2+x的图象上,求an的表达式;
(3)在(2)的条件下,设bn为数列{1-
1
an
}的前n项的积,是否存在实数a使得不等式bn
an+1
<a
对一切n∈N*都成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据二阶矩阵与平面列向量的乘法的乘法规则,将问题转化为矩阵的计算;
(2)由题意Sn=n2+n,从而可求an的表达式;
(3)构造函数,利用函数的单调性解决恒成立问题.
解答:解:(1)∵
01
10
-2
1
=
1
-2
∴点M′的坐标为(1,-2);
(2)∵
01
10
Sn
n
=
n
Sn
,∴A′(n,Sn
∵点A′(n,Sn)在函数f(x)=x2+x的图象上,∴Sn=n2+n
当n=1时,a1=S1=2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n
a1=2满足上式,∴an=2nn∈N*
(3)bn=(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)(1-
1
an
)
,设Fn=(1-
1
a1
)(1-
1
a2
)(1-
1
an
)
2n+1

F(n+1)
F(N)
=
2n+1
2n+3
2n+2
<1

∴F(n)>F(n+1),F(n)单调递减.
∴当n=1时,F(n)取最大值
3
2

要使不等式bn
an+1
<a
对一切n∈N*都成立,只需a
3
2

所以a的取值范围为(
3
2
,+∞)
点评:在二阶矩阵对应的变换作用下,它将平面上任意一个点(向量)(x,y)对应惟一的一个平面点(向量)(x′,y′).数列中的恒成立问题,通常可借助于构造的函数的单调性进行解决.
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