Question

大气、土壤水、海洋等物质在地球表面随着时间的变化而变化，这些物质对地壳压力负荷的变化会引起地壳的变形，在垂直方向尤为明显，根据上海某感测站的观测结果，该地的大气压力负荷、土壤水负荷、以及海底压力负荷引起的地壳垂向位移变化分别依次如图所示．
（1）根据图象分别求出上海观测站垂向位移h（单位：mm）与时间t（单位：月）在大气影响下，在土壤水影响下，在海底压力影响下的近似三角函数表达式．
（2）上述三种因素共同影响下的上海观测站垂向位移h（单位：mm）与时间t（单位：月）之间近似的满足函数关系式：h（t）=Asin（

π

6

t+φ），求A和tanφ．

Answer 1

分析：（1）先求得函数的周期，再将特殊点代入即可；（2）先假设h（t）=Asin（

π

6

t+φ）=-5cos

π

6

t+2.5sin(

π

6

t+

π

6

)+1.25sin(

π

6

t )，再取t=0，3组成方程组求解．

解答：解：（1）由图象知：T=12，则ω=

π

6

，在大气影响下，设表达式为h=5sin(

π

6

t+∅₁），将（6，5）代入，可知∅1=-

π

2

，故表达式为h=-5cos

π

6

t；
在土壤水影响下，设表达式为h=2.5sin(

π

6

t+∅2)，将（6，-1.25）代入，可知∅2=

π

6

，故表达式为h=2.5sin(

π

6

t+

π

6

)；
在海底压力影响下．设表达式为h=1.25sin(

π

6

t+∅3)，将（3，1.25）代入，可知∅₃=0，故表达式为h=1.25sin(

π

6

t )；
（2）h（t）=Asin（

π

6

t+φ）=-5cos

π

6

t+2.5sin(

π

6

t+

π

6

)+1.25sin(

π

6

t )，
当t=0时，h（0）=-3.75，当t=3时，h（3）=-

5(1+ 3 )

4

，∴

Asin∅=-3.75 Acos∅= 5(1+ 3 ) 4

，∴A≈5.071，tan∅=-

3

1+ 3

≈-1.098

点评：本题主要考查三角函数模型的运用，正确理解各参数的意义是关键．