Question

设f(x)=kx-

k

x

-2lnx．
（1）若f'（2）=0，求过点（2，f（2））的切线方程；
（2）若f（x）在其定义域内为单调增函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由导数运算公式和求导法则，算出f'（x）的表达式，根据f'（2）=0算出k的值，从而得到切点坐标（2，

6

5

-2ln2），最后根据直线的点斜式方程列式，化简即得曲线y=f（x）过点（2，f（2））的切线方程；
（2）根据题意，f'（x）≥0在其定义域（0，+∞）上恒成立，采用变量分离的方法并利用不基本不等式求最值，即可解出实数k的取值范围为[1，+∞）．

解答：解：（1）∵f(x)=kx-

k

x

-2lnx，
∴f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

∴f'（2）=0即

4k-4+k

4

=0，解之得k=

4

5

，
可得f（2）=2k-

k

2

-2ln2=

6

5

-2ln2
∴曲线y=f（x）过点（2，f（2））的切线方程为y-（

6

5

-2ln2）=0（x-2），化简得y=

6

5

-2ln2；
（2）由f′(x)=k+

k

x2

-

2

x

=

kx2-2x+k

x2

，令h（x）=kx²-2x+k，
要使f（x）在其定义域（0，+∞）上单调递增，
只需h（x）在（0，+∞）内满足：h（x）≥0恒成立．
由h（x）≥0，得kx²-2x+k≥0，即k≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立
∵x＞0，得x+

1

x

≥2，∴

2

x+ 1 x

≤1，得k≥1
综上所述，实数k的取值范围为[1，+∞）．-----------（12分）

点评：本题给出含有对数和分母的初等函数，研究了函数图象的切线和函数的单调区间，着重考查了函数的单调性与导数的关系和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识点，属于中档题．