Question

三棱锥中，四根棱长为a，其余两根棱长分别为

2

a，

3

a，则这个三棱锥的体积是

 

a³．

Answer 1

分析：画出图形，图（1）中找出垂面如图，判断是否存在，存在可求，垂面BDE面积，再求体积；图（2）中作出棱锥的高AO，求出底面BCD面积，高AO的长度，求出三棱锥的体积．

解答：解：由题意画出三棱锥的图形如图：
在图（1）中，过

2

a的直线作平面垂直

3

a的直线的平面如图，
EB=

1

2

a，EF=

3 a

2

，联B，D中点AF，CF，则AF+CF＜AC，故此种情况不存在．
图（2）中取DC的中点O，易得AO⊥平面BCD，
所以底面面积为：

2

2

a2
高AO=

1

2

a棱锥的体积为：

1

3

×

2

2

a2×

1

2

a=

2

12

a3
故答案为：

2

12

点评：本题考查棱锥的体积的求法，作图能力，空间想象能力，分类讨论思想，是中档题．对棱锥的体积的求法，垂面法，高线法，是基本方法，值得同学学习．