Question

已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0．若x₁，x₂为方程ax²+bx+c=0的两个实数根，则|

x

2 1

-

x

2 2

|的取值范围为

[0.3）

．

Answer 1

分析：根据a+b+c=0可得方程ax²+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定，求出|

b

a

|的范围，而|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=|

b

a

|•|x₁-x₂|=|

b

a

|•|1-x₂ |，从而可求出|

x

2 1

-

x

2 2

|的取值范围．

解答：解：由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两实数根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一个实数根为1，且 a＞0，c＜0，b的符号不确定．
故有 a+2b＞0，1＞

b

a

＞-

1

2

，0≤|

b

a

|＜1．
不妨设 x₁ =1，由根与系数的关系可得 1+x₂=-

b

a

，x₂=

c

a

＜0，且对称轴为 x=-

b

2a

∈（-

1

2

，

1

4

）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=|

b

a

|•|x₁-x₂|=|

b

a

|•|1-x₂ |可得，
当|

b

a

|=0时，|x₁²-x₂²|=|

b

a

|•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-

b

2a

）|=2|（1+

b

2a

）|≤2+|

b

a

|＜2+1=3，
故|

b

a

|•|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范围为[0，3），
故答案为：[0，3）．

点评：本题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，同时考查了计算能力，属于基础题．