题目内容

(1)(如图1)在边长为4的正方形ABCD中,E、F分别是边AB,BC上的点,且AE=BF=1,过线段EF上的点P分别作DC,AD的垂线,垂足为M,N,延长NP交BC于Q,试写出矩形PMDN的面积y与FQ的长x之间的函数关系,并求出y的最大值.
(2)(如图2)在边长为4的正方形ABCD中,E、F分别是边AB,BC上的点,且AE=BF=x,设多边形的面积为y,当x为何值时,多边形AEFCD的面积最小?
分析:(1)根据图象中的平行关系,确定矩形的边长,进而可求面积,由此可得面积的最值;
(2)确定多边形AEFCD的面积,利用基本不等式可求最值.
解答:解:(1)由题意,∵PQ∥BE,∴
x
1
=
PQ
3
,∴PQ=3x,∴PN=4-3x
∵DN=4-AN=4-(1-x)=3+x,
∴矩形PMDN的面积y=(4-3x)(3+x)(0≤x≤1)
∴y=-3(x+
5
6
)
2
+
169
12

∵0≤x≤1,∴x=0时,ymax=12;
(2)多边形AEFCD的面积等于正方形的面积减去三角形的面积,所以y=16-
1
2
(4-x)x
1
2
(4-x)x≤
1
2
(
4-x+x
2
)
2
=2(当且仅当x=2时,取等号)
∴y≥16-2=14
∴x=2时,ymin=14
点评:本题考查面积的计算,考查函数模型的构建,考查函数最值的求解,属于中档题.
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