Question

定长等于的线段AB的两个端点分别在直线和上滑动，线段AB中点M的轨迹为C；
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点（0，1）的直线l与轨迹C交于P，Q两点，问：在y轴上是否存在定点T，使得不论l如何转动，为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设，|AB|=2，由中点坐标公式及两点间距离公式可得轨迹C的方程；
（Ⅱ）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得x的二次方程，设P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），由向量数量积运算及韦达定理可把表示为t的式子，为使为定值，可求得t值，从而得到此时点T坐标，当l与y轴重合时易验证；
解答：解：（Ⅰ）设，
则x₁+x₂=2x，，代入，
得轨迹C的方程为，即；
（Ⅱ）（1）若l不与y轴重合，设直线l方程为y=kx+1，代入椭圆C的方程得（4k²+9）x²+8kx-32=0，
设P（x₃，kx₃+1），Q（x₄，kx₄+1），
则，；
设点T（0，t），则=x₃•x₄+（kx₃+1-t）•（kx₄+1-t）
=
=
=，
使为定值，则 ，
解得，即对于点总有=；
（2）当l与y轴重合时，P（0，3），Q（0，-3），对于点也有=，
故在y轴上存在定点使得为定值．
点评：本题考查轨迹方程的求解、平面向量数量积的运算、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，考查学生的探究能力及解决问题的能力．