Question

若(x-

3

x2

)n的二项展开式中，所有项的系数之和为-512，则展开式中的常数项是

-2268

．

Answer 1

分析：由题意可得（1-3）ⁿ=-512，解得 n=9．在 (x-

3

x2

)n的二项展开式的通项公式中，令x的系数等于0，求出r=3，即可得到展开式中的常数项．

解答：解：由题意可得（1-3）ⁿ=-512，解得 n=9，故(x-

3

x2

)n的二项展开式中，通项公式为 T_r+1=

C

r 9

 x^9-r （-3）^r x^-2r=（-3）^r

C

r 9

 x^9-3r．
令 9-3r=0，可得 r=3，则展开式中的常数项是-27×

C

3 9

=-2268，
故答案为-2268．

点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求出n=9，是解题的关键，属于中档题．