Question

若函数f（x）=

kx+5

kx2+4kx+3

定义域为一切实数，则实数k的取值范围为

[0，

3

4

）

．

Answer 1

分析：函数f（x）=

kx+5

kx2+4kx+3

的定义域为R可转化为?x∈R，kx²+4kx+3≠0．令w=kx²+4kx+3，对k进行分类讨论：①k=0，显然符合题意②k＞0，要想使二次函数w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，③k＜0，要想使二次函数w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，最后求出实数k的取值范围即可．

解答：解：函数f（x）=

kx+5

kx2+4kx+3

定义域为一切实数，可转化为：
?x∈R，kx²+4kx+3≠0．令w=kx²+4kx+3，下面分三类求解：
一类：当k=0，由于3≠0，显然符合题意
二类：当k＞0，要想使二次函数w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，
即（4k）²-4×3×k＜0
即 0＜k＜

3

4

三类：当k＜0，要想使二次函数w=kx²+4kx+3≠0，只需△＜0，
即（4k）²-4×3×k＜0
即 0＜k＜

3

4

（不合，舍去）
综上所述：[0，

3

4

）．
故答案为：[0，

3

4

）．

点评：本小题主要考查函数定义域的应用、函数恒成立问题等基础知识，解答关键是合理应用分类讨论的方法．属于基础题．