Question

18．已知数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$}的前n项和S_n=1-3n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=n•a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式可得a_n；
（2）利用“错位相减法”，等比数列的通项公式前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）当n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n-1}}$=S_n-S_n-1=1-3n-[1-3（n-1）]=-3，
∴a_n=-3ⁿ．
当n=1时，a₁=S₁=-2不满足上式．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-2，n=1}\\{-{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）b_n=n•a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n=1}\\{-n•{3}^{n}，（n≥2）}\end{array}\right.$，
T_n=-2-2×3²-3×3³-…-n•3ⁿ，
$3{T_n}=-6-2×{3^3}-3×{3^4}-…-n•{3^{n+1}}$，
∴-2T_n=-14-3³-3⁴-…-3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹=-2-$\frac{3（{3}^{n}-1）}{2-1}$+n•3ⁿ⁺¹=$-\frac{1}{2}+（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}$，
∴${T}_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-n）•{3}^{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．