题目内容
学生李明解以下问题已知α,β,?均为锐角,且sinα+sin?=sinβ,cosβ+cos?=cosα求α-β的值
其解法如下:由已知sinα-sinβ=-sin?,cosα-cosβ=cos?,两式平方相加得2-2cos(α-β)=1
∴cos(α-β)=
又α,β均锐角
∴-
<α-β<
∴α-β=±
请判断上述解答是否正确?若不正确请予以指正.
其解法如下:由已知sinα-sinβ=-sin?,cosα-cosβ=cos?,两式平方相加得2-2cos(α-β)=1
∴cos(α-β)=
1 |
2 |
∴-
π |
2 |
π |
2 |
∴α-β=±
π |
3 |
请判断上述解答是否正确?若不正确请予以指正.
分析:上述解答过程不正确,理由为:由α,β均锐角,得到sin?大于0,可得sinα-sinβ=-sin?<0,根据正弦函数在[0,
]为增函数,可得α<β,故α-β的值为负值,所以利用特殊角的三角函数值求出α-β应为-
,而不是±
.
π |
2 |
π |
3 |
π |
3 |
解答:解:上述解答过程不正确,理由为:
由已知sinα-sinβ=-sin?,cosα-cosβ=cos?,两式平方相加得2-2cos(α-β)=1
∴cos(α-β)=
,
又α,β均锐角,sinα-sinβ=-sin?<0,
∴α<β,
∴-
<α-β<0,
∴α-β=-
.
由已知sinα-sinβ=-sin?,cosα-cosβ=cos?,两式平方相加得2-2cos(α-β)=1
∴cos(α-β)=
1 |
2 |
又α,β均锐角,sinα-sinβ=-sin?<0,
∴α<β,
∴-
π |
2 |
∴α-β=-
π |
3 |
点评:此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,正弦函数的单调性,以及特殊角的三角函数值,根据题意得出α-β的具体范围,得到满足题意的解是本题容易出错的地方,学生以后求值时应注意.
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