Question

已知椭圆E的方程是（a＞b＞0），其左顶点为（-2，0），离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l交椭圆E于A、B两点，若椭圆上存在一点P，使=λ（+），试求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆左顶点为（-2，0），离心率e=，结合b=，求出几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）确定直线l的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合=λ（+），求出P的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的值．
解答：解：（1）由已知得a=2，e==，∴c=1，b==，
∴椭圆E的方程为=1．
（2）由（1）得右焦点F（1，0），因此直线l的方程为y=x-1．
代入椭圆方程并整理得7x²-8x-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，
∴y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=（x₁+x₂）-2=-．
∴=λ（+）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（，-），
∴P点坐标为（，-），
代入椭圆方程，可得=1，
∴，解得λ=．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．