题目内容
已知椭圆E的方程是

(1)求椭圆E的方程;
(2)已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l交椭圆E于A、B两点,若椭圆上存在一点P,使



【答案】分析:(1)利用椭圆左顶点为(-2,0),离心率e=
,结合b=
,求出几何量,即可求椭圆E的方程;
(2)确定直线l的方程,代入椭圆方程并整理,利用韦达定理,结合
=λ(
+
),求出P的坐标,代入椭圆方程,即可求λ的值.
解答:解:(1)由已知得a=2,e=
=
,∴c=1,b=
=
,
∴椭圆E的方程为
=1.
(2)由(1)得右焦点F(1,0),因此直线l的方程为y=x-1.
代入椭圆方程并整理得7x2-8x-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
,
∴y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-
.
∴
=λ(
+
)=λ(x1+x2,y1+y2)=λ(
,-
),
∴P点坐标为(
,-
),
代入椭圆方程,可得
=1,
∴
,解得λ=
.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.


(2)确定直线l的方程,代入椭圆方程并整理,利用韦达定理,结合



解答:解:(1)由已知得a=2,e=




∴椭圆E的方程为

(2)由(1)得右焦点F(1,0),因此直线l的方程为y=x-1.
代入椭圆方程并整理得7x2-8x-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=

∴y1+y2=(x1-1)+(x2-1)=(x1+x2)-2=-

∴





∴P点坐标为(


代入椭圆方程,可得

∴


点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

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