Question

已知A为锐角△ABC的一个内角，满足2sin²（A+

π

4

）-

3

cos2A=

3

+1．
（I）求角A的大小；
（II）若BC边上的中线长为3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）把已知的等式的左边第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形后，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，可得出sin（2A-

π

3

）的值，由A为锐角，得到2A-

π

3

的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）根据题意画出相应的图形，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABEC为平行四边形，可得出对边AC与BE平行，根据两直线平行同旁内角互补可得出∠ABE与∠BAC互补，由∠BAC的度数表示出∠ABE的度数，在三角形ABE中，由余弦定理得到AE²=b²+c²-2bccos∠ABE，将AE及表示出的∠ABE的度数代入，整理后再利用基本不等式变形，求出bc的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将∠BAC的度数及bc的最大值代入即可求出面积的最大值．

解答：（本题满分14分）
解：（I）2sin²（A+

π

4

）-

3

cos2A=1-cos（2A+

π

2

）-

3

cos2A
=1+sin2A-

3

cos2A=1+2（

1

2

sin2A-

3

2

cos2A）
=1+2sin（2A-

π

3

）=1+

3

，
∴sin（2A-

π

3

）=

3

2

，（4分）
∵A∈（0，

π

2

），2A-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），
∴2A-

π

3

=

π

3

，解得A=

π

3

；（7分）
（II）根据题意画出图形，如图所示：

延长AD到点E，使DE=AD=3，又AD为中线，可得BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AC∥BE，BE=AC=b，
又A=

π

3

，
∴∠BAC+∠ABE=π，即∠ABE=π-∠BAC=

2π

3

，
在△ABE中，根据余弦定理得：6²=b²+c²-2bccos∠ABE=b²+c²+bc，
又b²+c²≥2bc，
∴bc≤

36

3

=12，（11分）
∴S_△ABC=

1

2

bcsin∠BAC=

3

4

bc≤3

3

，当且仅当b=c=2

3

时取等号，
则△ABC面积的最大值为3

3

．（14分）

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．