Question

设a_n为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N^*）．
（1）证明对任意n≥1，有an=

3n+(-1)n-12n

5

+(-1)n2na0；
（2）假设对任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）选择利用数学归纳法为妥，需要注意的是有归纳假设a_k到a_k+1的变形，利用归纳假设，注意目标的形式就能得到结果；另外可以利用递推数列来求得通项公式，当然需要对递推数列的a_n+1=pa_n+f（n）这种形式的处理要合适；这种形式的一般处理方法是：两边同时除以pⁿ⁺¹或者是构造一个等比数列，构造法有一定的技巧，如本题可设a_n-a3ⁿ=-2（a_n-1-a3^n-1），
（2）由（1）的结论可作差a_n-a_n-1＞0并代入运算，由于含有（-1）ⁿ的形式要注意对n=2k-1和n=2k进行讨论，只需取k=1，2时得到a₀的取值范围即可，另外一个思路是只需取n=1，2时得到a₀的范围，然后分n=2k-1和n=2k进行证明a_n-a_n-1＞0．具体解法参见参考答案．

解答：解：（1）证法一：
（i）当n=1时，由已知a₁=1-2a₀，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，
则ak=

1

5

[3k+(-1)k-12k]-(-1)k2a0，
那么ak+1=3k-2ak=3k-

2

5

[3k+(-1)k-12k]-(-1)k2k+1a0
=

1

5

[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0．
也就是说，当n=k+1时，等式也成立．
根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立．

证法二：如果设a_n-a3ⁿ=-2（a_n-1-a3^n-1），
用a_n=3^n-1-2a_n-1代入，可解出a=

1

5

．
所以{an-

3n

5

}是公比为-2，
首项为a1-

3

5

的等比数列．
∴an-

3n

5

=(1-2a0-

3

5

)(-2)n-1(n∈N)．
即an=

3n+(-1)n-12n

5

+(-1)n2na0．

（2）解法一：由a_n通项公式an-an-1=

2×3n-1+(-1)n-13×2n-1

5

+(-1)n3×2n-1a0．
∴a_n＞a_n-1（n∈N）等价于(-1)n-1(5a0-1)＜(

3

2

)n-2(n∈N)．①
（i）当n=2k-1，k=1，2，时，
①式即为(-1)2k-2(5a0-1)＜(

3

2

)2k-3
即为a0＜

1

5

(

3

2

)2k-3+

1

5

．
②式对k=1，2，都成立，
有a0＜

1

5

×(

3

2

)-1+

1

5

=

1

3

．
（ii）当n=2k，k=1，2时，
①式即为(-1)2k-1(5a0-1)＜(

3

2

)2k-2．
即为a0＞-

1

5

×(

3

2

)2k-2+

1

5

．
③式对k=1，2都成立，有a0＞-

1

5

×(

3

2

)2×1-2+

1

5

=0．
综上，①式对任意n∈N_*，成立，有0＜a0＜

1

3

．
故a₀的取值范围为(0，

1

3

)．
解法二：如果a_n＞a_n-1（n∈N_*）成立，
特别取n=1，2有a₁-a₀=1-3a₀＞0．a₂-a₁=6a₀＞0．
因此0＜a0＜

1

3

．下面证明当0＜a0＜

1

3

．时，
对任意n∈N_*，a_n-a_n-1＞0．
由a_n的通项公式5（a_n-a_n-1）=2×3^n-1+（-1）^n-13×2^n-1+（-1）ⁿ5×3×2^n-1a₀．
（i）当n=2k-1，k=1，2时，
5（a_n-a_n-1）=2×3^n-1+3×2^n-1-5×3×2^n-1a₀＞2×2^n-1+3×2^n-1-5×3×2^n-1=0
（ii）当n=2k，k=1，2时，
5（a_n-a_n-1）=2×3^n-1-3×2^n-1+5×3×2^n-1a₀＞2×3^n-1-3×2^n-1≥0．
故a₀的取值范围为(0，

1

3

)．

点评：本题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．对递推数列的a_n+1=pa_n+f（n）这种形式的考查是一个难点，同时除以pⁿ⁺¹得到

an+1

pn+1

-

an

pn

=

f(n)

pn+1

，然后用累加法得到

an

pn

的等式可得结果，或者是构造一个等比数列a_n+1+kf（n）=p（a_n+kf（n））（不具有普适性）．