题目内容
已知椭圆的短轴长为2| 3 |
（1）求这个椭圆的标准方程；
（2）如果直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点A，B，求m的取值范围；
（3）若（2）中m=1，求该直线与此椭圆相交所得弦长|AB|的值．
分析：（1）先由题分析出椭圆的焦点在x轴上且2b=2
，c=1，求出a，b即可求椭圆的标准方程；
（2）联立直线方程与椭圆方程，整理为关于的一元二次方程；再结合直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点知道对应的方程有两个不等实根，判别式大于0即可求出m的取值范围；
（3）求出A，B的坐标，即可求得弦长|AB|．
| 3 |
（2）联立直线方程与椭圆方程，整理为关于的一元二次方程；再结合直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点知道对应的方程有两个不等实根，判别式大于0即可求出m的取值范围；
（3）求出A，B的坐标，即可求得弦长|AB|．
解答：解：（1）由题得椭圆的焦点在x轴上且2b=2
，c=1
∴b=
，a2=b2+c2=4．
∴椭圆的标准方程为
+
=1；
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：7x2+8mx+4m2-12=0．
∵直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点
∴△=（8m）2-4×7×（4m2-12）＞0
∴m2＜7，∴-
＜m＜
；
（3）m=1时，7x2+8mx+4m2-12=0可化为7x2+8x-8=0
∴x=
∴y=
∴|AB|=
=
| 3 |
∴b=
| 3 |
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）直线y=x+m代入椭圆方程，消去y整理得：7x2+8mx+4m2-12=0．
∵直线y=x+m与这个椭圆交于不同的两点
∴△=（8m）2-4×7×（4m2-12）＞0
∴m2＜7，∴-
| 7 |
| 7 |
（3）m=1时，7x2+8mx+4m2-12=0可化为7x2+8x-8=0
∴x=
-4±6
| ||
| 7 |
∴y=
3±6
| ||
| 7 |
∴|AB|=
(
|
| 24 |
| 7 |
点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0）．
，焦点坐标分别是（-1，0）和（1，0），
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