Question

已知方程 x3+a=

4

x

（1）当a=0时，求方程x3+a=

4

x

的各个实根；
（2）若方程x3+a=

4

x

的各个根x1，x 2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi，

4

xi

)(i=1，2，…，k)均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=0代入方程得，x3=

4

x

，从而解得方程的根；
（2）由题意x3+a=

4

x

，设f(x)=x3+a，g(x)=

4

x

，利用函数图象的特征解决问题，先对a进行分类讨论：①当a=0时，点(

2

，2

2

)，(-

2

，-2

2

)的直线y=x的异侧；②当a＜0时，要使f（x）=x³+a与g(x)=

4

x

的两个交点在同直线y=x的右侧得出关于a的不等关系；当a＞0时，要使f（x）=x³+a与g(x)=

4

x

的两个交点在同直线y=x的左侧
得出关于a的不等关系，最后解不等式组即可得出满足条件的a的取值范围．

解答：解：（1）当a=0时，x3=

4

x

解得x1=

2

或x2=-

2

…（2分）
（2）x3+a=

4

x

，设f(x)=x3+a，g(x)=

4

x

，
函数g(x)=

4

x

与y=x的图象相交于两点（2，2），（-2，-2）
函数y=x³与y=x的图象相交于两点（1，1），（-1，-1）…（4分）
①当a=0时，点(

2

，2

2

)，(-

2

，-2

2

)的直线y=x的异侧…（5分）
②当a＜0时，要使f（x）=x³+a与g(x)=

4

x

的两个交点在同直线y=x的右侧，
需满足

4 2 ＞23+a 4 -2 ＞-23+a

解得a＜-6；…（8分）
当a＞0时，要使f（x）=x³+a与g(x)=

4

x

的两个交点在同直线y=x的左侧

需满足

4 2 ＜23+a 4 -2 ＜-23+a

解得a＞6
所以满足条件的a的取值范围是（-∞，-6∪（6，+∞）…（10分）

点评：本小题主要考查根的存在性及根的个数判断、方程式的解法等基础知识，考查运算方程与函数的数学思想、分类讨论的数学思想、数形结合思想．属于基础题．