题目内容

已知直线与曲线恰有两个不同的交点,记k的所有可能取值构成集合A;P(x,y)是椭圆上一动点,与点P关于直线y=x+1对称,记的所有可能取值构成集合B,若随机的从集合A,B中分别抽出一个元素,则的概率是___________

解析试题分析:由,当x≥0时,显然k>0,两边平方得
,即
由题意,该方程有两个不相等的正实数根
结合k>0解得k∈(0,1),即A=(0,1)
对于椭圆,由于原点关于y=x+1的对称点为(-1,1)
所以,椭圆关于y=x+1的对称椭圆为
在改椭圆上,可知y1-1∈[-4,4]
于是∈[-1,1],即B=[-1,1]
【方法一】由,分别以为横坐标和纵坐标,
可知点()构成一个面积为2的矩形
其中满足的是图中阴影部分,面积为
所以,满足的概率是

【方法二】当时,此事件发生的概率为,此时必有
时,此事件发生的概率为,此时概率相等,各占,于是此时满足的概率为.
以上两事件互斥,且[-1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足的概率为.
考点:直线与曲线的交点,轴对称图形,坐标的取值范围,几何概型.

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