Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{15}=1$，圆A的方程为（x+1）²+y²=1，圆B的方程为（x-1）²+y²=1，在椭圆上取一点P，过点A的直线与圆A交于C，D两点过B的直线与圆B交于E，F两点，那么$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最小值为30．

Answer 1

分析 设P$（4cosθ，\sqrt{15}sinθ）$（θ∈[0，2π）），C（-1+cosα，sinα），D（-1-cosα，-sinα）．可得$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=8cosθ+cos²θ+15．同理可得：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=-8cosθ+cos²θ+15．
于是$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=2cos²θ+30，即可得出．

解答 解：设P$（4cosθ，\sqrt{15}sinθ）$（θ∈[0，2π）），C（-1+cosα，sinα），D（-1-cosα，-sinα）．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}$=（-1+cosα-4cosθ，sinα-$\sqrt{15}sinθ$）•（-1-cosα-4cosθ，-sinα-$\sqrt{15}sinθ$）
=（1+4cosθ）²-cos²α+15sin²θ-sin²α
=1+8cosθ+cos²θ+15-1
=8cosθ+cos²θ+15
同理可得：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=-8cosθ+cos²θ+15．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=2cos²θ+30≥30．当$θ=\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$时取等号．
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最小值为30．
故答案为：30．

点评 本题考查了椭圆与圆的参数方程、向量数量积运算性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．