Question

已知A={x|ax²+6x+9=0，a∈R，x∈R}，
（1）若A中有且仅有一个元素，求a的值，并求出这个元素；
（2）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）方程有一个解有两种情况，a=0和a≠0，分别求解，再综合；
（2）A中至多有一个元素，分两种情况，除了（1）以外还有A=∅的情况，求出再综合．

解答：解：（1）已知集合A中的元素是方程ax²+6x+9=0的解，
∵A中有且仅有一个元素，
∴若a=0，此时A={-

3

2

}，
若a≠0，则△=36-36a=0，
此时，a=1，A={-3}．
（2）分两种情况，当A=∅，△＜0⇒a＞1；
当A≠∅，a=0或a=1，
综上a的取值范围是{0}∪{x|x≥1}．

点评：本题考查了集合中元素的确定，体现了分类讨论思想．