Question

已知二项式(5x-

1

x

)n展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，
（1）求n；
（2）求展开式中含x项的系数；
（3）求展开式中所有x的有理项．

Answer 1

（1）由已知得：4ⁿ-2ⁿ=240，2ⁿ=16，n=4…（3分）
（2）通项Tr+1=

C

r4

(5x)4-r(-

1

x

)r=

C

r4

54-r(-1)rx4-

3

2

r，
令4-

3

2

r=1?r=2
所以含x项的系数：C₄²5²（-1）²=150…（8分）
（3）由（2）得：4-

3

2

r∈Z，(r=0，1，2，3，4)，即r=0，2，4
所以展开式中所有x的有理项为：T₁=625x⁴，T₃=150x，T₅=x^-2…（13分）