Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，数列{b_n}的前n项和是T_n，且．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：数列{b_n}是等比数列；
（III）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n．

Answer 1

（I）解：∵数列{a_n}是等差数列，a₃=10，a₆=22，
∴解得 a₁=2，d=4．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．…（4分）
（II）证明：由于，①
令n=1，得，解得
当n≥2时，②
①-②得，
∴
又，∴．
∴数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列．…（9分）
（III）证明：由（II）可得．…（9分）
∴…（10分）
∴．
∵n≥1，故c_n+1-c_n＜0，
∴c_n+1＜c_n．…（13分）
分析：（I）利用等差数列的通项公式，结合a₃=10，a₆=22，建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（II），当n≥2时，，两式相减，即可证得数列{b_n}是以为首项，为公比的等比数列；
（III），再写一式，作差，即可得到结论．
点评：本题考查等差数列的通项，等比数列的证明，考查大小比较，解题的关键是掌握解决数列问题的基本方法．