Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺都有a_n（a_n+1）=2（a_n+a_n…+a_n）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-2^a+1，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设cn=3ⁿ+（-1）^n-1λ-2a_n（λ为非零整数，n∈N⁺），试确定λ的值，使得对任意n∈N⁺，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析：（1）根据题中式子得到a_n-1（a_n-1+1）=2（a₁+…+a_n-1）两者相减即可得到数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（10所求的a_n，可得b_n，进而求出数列{b_n}的前n项和S_n，
（3）求出C_n-C_n+1的值，对n是奇数偶数分别讨论，从而确定λ的值．

解答：解：（1）由已知a_n（a_n+1）=2（a₁+…+a_n）
当n≥2时，a_n-1（a_n-1+1）=2（a₁+…+a_n-1）（1分），
两式相减，a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1）=2a_n，a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1
因数列{a_n}的各项都是正数，∴a_n-a_n-1=1{a_n}为等差数列且公差为1，
由已知a₁=1，（4分）
∴a_n=n（5分）

（2）b_n=2n-2ⁿ⁺¹，（6分）
∴S_n=n（n+1）-2ⁿ⁺²+4（9分）
（3）C_n=3ⁿ+2nλ（-1）^n-1，C_n+1=3ⁿ⁺¹+2（n+1）λ（-1）ⁿ，
C_n-C_n+1=3ⁿ⁺¹+2（n+1）λ（-1）ⁿ-3ⁿ-2nλ（-1）^n-1（10分）
由于C_n-C_n+1＞0．

（1）当n为奇数时，C_n-C_n+1=2•3ⁿ-2λ（2n+1）＞0所以λ＜

3n

2n+1

恒成立（11分）
令d=  

3

2n+1

，

dn+1

d

=

6n+3

2n+3

=1+

4n

2n+3

＞1即d_n是递增数列
即为n奇数时

3n

2n+1

取最小值1，所以λ＜1．（12分）
（2）当n为偶数时，所以恒成立同理知C_n-C_n+1=2•3ⁿ+2λ（2n+1）
所以λ＞-

3n

2n+1

恒成立，因此当n为偶数时，-

3n

2n+1

取最大值-

9

5

，所以λ＞-

9

5

．（14分）
综上所述，λ=-1．（15分）

点评：此题主要考查数列通项公式和前前n项和的求解．