题目内容
已知函数的图象与函数的图象关于点A(0,1)对称.
(I)求的值;
(II)若,且在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(III)在条件(II)下,试证明函数与函数图象的交点不可能落在轴的左侧.
(I)
(II).
(III)证明见解析
解析:
(I)设P()为函数图象上任意一点,点P关于点A的对称点为Q(),则有
即 .………………………………………………2分
点Q在上,,
,即,.………………… 4分
(II)。设任意,且,
则,……………………… 7分
对一切恒成立.
对一切恒成立,
. ………………………………………………… 9分
(III).……………………………… 10分
(证法一)假设两曲线的交点在轴左侧,即交点的横坐标.…11分
则且,,即.
这与假设矛盾,故两曲线的交点不可能在轴左侧.………………… 14分
(证法二)假设两曲线的交点在轴的左侧,即交点的横坐标.
若,则,而,与假设矛盾;
若,则,而,与假设矛盾.
故曲线与曲线的交点不可能在轴左侧.……………………… 14分
(若用其它方法,可依据该标准合理赋分)
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