题目内容

已知函数的图象与函数的图象关于点A(0,1)对称.

    (I)求的值;

    (II)若,且在区间上为减函数,求实数的取值范围;

    (III)在条件(II)下,试证明函数与函数图象的交点不可能落在轴的左侧.

  

(I) 

    (II).  

    (III)证明见解析


解析:

(I)设P()为函数图象上任意一点,点P关于点A的对称点为Q(),则有

      .………………………………………………2分

    点Q在上,

    ,即.…………………    4分

    (II)。设任意,且

    则,………………………    7分

    对一切恒成立.

    对一切恒成立,

    .  …………………………………………………  9分

    (III).………………………………     10分

    (证法一)假设两曲线的交点在轴左侧,即交点的横坐标.…11分

    则,即

    这与假设矛盾,故两曲线的交点不可能在轴左侧.…………………     14分

    (证法二)假设两曲线的交点在轴的左侧,即交点的横坐标.

                                                                                                                             

    ,则,而,与假设矛盾;

    ,则,而,与假设矛盾.

    故曲线与曲线的交点不可能在轴左侧.………………………   14分

    (若用其它方法,可依据该标准合理赋分)

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