Question

“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的（　　）

A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

Answer 1

分析：先证明充分性，把方程化为

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，由“mn＜0”，可得

1

m

、

1

n

异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，由双曲线方程的形式可得

1

m

、

1

n

异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．

解答：解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx²+ny²=1，可化为

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，
若“mn＜0”，

1

m

、

1

n

异号，方程

x2

1 m

+

y2

1 n

=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的充分条件；
反之，若mx²+ny²=1表示双曲线，则其方程可化为

x2

1 m

+

y2

1 n

=1，
此时有

1

m

、

1

n

异号，则必有mn＜0，
故“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的必要条件；
综合可得：“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的充要条件；
故选C．

点评：本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断，关键在于掌握二元二次方程mx²+ny²=1表示双曲线条件．