Question

如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②三棱锥A′-FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；
④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是(0，

π

2

]．其中正确命题的序号是

 

．（将正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：由△ABC为正三角形可探讨过A'作面ABC的垂线的垂足的位置在AF上，从而可以得到①②③，利用异面直线所成角的定义可知⑤的准确性，通过举反例否定④，即可的答案．

解答：解：过A'作A'H⊥面ABC，垂足为H
∵△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交
∴AG⊥DE A'G⊥DE    又∵AG∩A'G=G
∴DE⊥面A'GA  
∵DE?面ABC∴面A'GA⊥面ABC 且面A'GA∩面ABC=AF
∴H在AF上，故①对③对．

1

3

S△EFDS_{三棱锥A′-FED}=

1

3

S△EFD•A'H
∵底面面积是个定值，∴当A'H为A'G时，三棱锥的面积最大，故②对
由异面直线所成角的定义知：异面直线FE与A′D所成角的取值范围是(0，

π

2

]，故⑤对．
在△A′ED是△AED绕DE旋转的过程中异面直线A′E与BD可能互相垂直，故④不对
故答案为：①②③⑤

点评：本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系，以及线面，面面垂直的判断和性质，同时也考查了异面直线所成角，是个基础题．