Question

甲、乙、丙3人各进行1次射击，若3人击中目标的概率分别是

1

2

，

1

3

，

1

4

．
求（1）3人中至少有1人击中目标的概率；
（2）若乙击5次，至少有两次击中目标的概率；
（3）乙至少要射击几次才能使击中目标的概率大于98%；
（4）若三人同时射击，恰有一人击中目标的概率．

Answer 1

分析：（1）记3人中至少有1人击中目标为事件A，则A的对立事件

.

A

为3人都没有击中目标，由相互独立事件概率的乘法公式计算可得P（

.

A

），由对立事件的概率性质，计算可得答案；
（2）记乙击5次，至少有两次击中目标为事件B，则B的对立事件

.

B

为5次中击中1次或没有击中1次，分别计算①5次中击中1次与②5次中没有击中1次的概率，由互斥事件概率的加法公式，计算可得答案；
（3）设乙至少要射击k次才能使击中目标，分析可得其对立事件为k次都没有击中目标，并记为C，易得P（C），又由题意，可得1-P（C）=1-（

2

3

）^k＞0.98，即（

2

3

）^k＜0.02，解可得答案；
（4）分3种情况讨论：①只有甲击中，②只有乙击中，③只有丙击中，计算每种情况的概率，由互斥事件概率的加法公式，计算可得答案．

解答：解：（1）记3人中至少有1人击中目标为事件A，则A的对立事件

.

A

为3人都没有击中目标，
则P（

.

A

）=（1-

1

2

）（1-

1

3

）（1-

1

4

）=

1

4

，
则P（A）=1-P（

.

A

）=1-

1

4

=

3

4

，
（2）记乙击5次，至少有两次击中目标为事件B，则B的对立事件

.

B

为5次中击中1次或没有击中，
若5次中击中1次的概率为P₁=C₅¹×

1

3

×（1-

1

3

）⁴=

80

243

，
若5次中没有击中1次的概率P₂=（1-

1

3

）⁵=

32

243

，
则P（

.

B

）=

80

243

+

32

243

=

112

243

，
则P（B）=1-

112

243

=

131

243

；
（3）乙至少要射击k次才能使击中目标，其对立事件为k次都没有击中目标，记为C，
则其概率P（C）=（1-

1

3

）^k=（

2

3

）^k，
若1-P（C）=1-（

2

3

）^k＞0.98，即（

2

3

）^k＜0.02，
解可得，k＞5，
则乙至少要射击5次才能使击中目标；
（4）分3种情况讨论：
①只有甲击中，其概率为P₃=（

1

2

）（1-

1

3

）（1-

1

4

）=

1

4

，
②只有乙击中，其概率为P₄=（1-

1

2

）（

1

3

）（1-

1

4

）=

1

8

，
③只有丙击中，其概率为P₅=（1-

1

2

）（1-

1

3

）（

1

4

）=

1

12

，
则恰有一人击中目标的概率P=P₃+P₄+P₅=

11

24

．

点评：本题考查相互独立事件、对立事件、n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算，涉及范围较大，解题时要分清事件之间的关系．