Question

某校一次数学研究性学习活动中，一个密封的箱子内装有分别写上y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六个函数的六张外形完全一致的卡片（一张卡片一个函数），参与者有放回的抽取卡片，参与者只参加一次．如果只抽一张，抽得卡片上的函数是其它某一张卡片上函数的导数，抽取者将获得三等奖；如是先后各抽一张，抽出的卡片中，其中一张上的函数是另一张卡片上函数的导数，抽取者将获得二等奖；如果先后各抽一张，第一张卡片上的函数的导数是第二张卡片上的函数，抽取者将获得一等奖．
（Ⅰ）求学生甲抽一次获得三等奖的概率；
（Ⅱ）求学生乙抽一次获得二等奖的概率；
（Ⅲ）求学生丙抽一次获得一等奖的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在所给的六个函数中，有y=cosx，y=

1

x

，y=-

1

x2

这三个函数可作为其它函数的导数，由此求得学生甲抽一次获得三等奖的概率．
（Ⅱ）在六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种．其中，有7种抽法满足得二等奖的要求，由此求得学生乙抽一次获得二等奖的概率．
（Ⅲ）在六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种．其中，有4种抽法满足得一等奖的要求，由此求得学生丙抽一次获得一等奖的概率．

解答：解：（Ⅰ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六个函数中，y=cosx，y=

1

x

，y=-

1

x2

这三个函数可作为其它函数的导数．
设“学生甲抽一次获得三等奖”为事件A，∴P(A)=

3

6

=

1

2

．…4分
（Ⅱ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种，
其中，y=sinx，y=cosx组合两种，y=e^x，y=e^x组合一种，y=

1

x

，y=-

1

x2

组合两种，lnx，y=

1

x

组合两种，共计7种都满足得二等奖的要求．
设“学生乙抽一次获得二等奖”为事件B，∴P(B)=

7

36

．…8分
（Ⅲ）在y=sinx，y=cosx，y=e^x，y=

1

x

，y=-

1

x2

，lnx六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种．
其中，y=sinx，y=cosx组合1种，y=e^x，y=e^x组合1种，y=

1

x

，y=-

1

x2

组合1种，lnx，y=

1

x

组合1种，共计4种都满足得一等奖的要求．
设“学生丙抽一次获得一等奖”为事件C，∴P(C)=

4

36

=

1

9

．
答：甲乙丙三人各得三、二、一等奖的概率分别是

1

2

、

7

36

、

1

9

．…12分．

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．