Question

如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点

（1）  求点P的轨迹H的方程

（2）  在Q的方程中，令a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

Answer 1

解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）

上的点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），又设P点坐标为P（x，y），则

1°当AB不垂直x轴时，x₁¹x₂，

由（1）－（2）得

b²（x₁－x₂）2x＋a²（y₁－y₂）2y＝0

  

b²x²＋a²y²－b²cx＝0…………（3）

2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）

故所求点P的轨迹方程为：b²x²＋a²y²－b²cx＝0

（2）因为，椭圆Q右准线l方程是x＝，原点距l的距离为，

由于c²＝a²－b²，a²＝1＋cosq＋sinq，b²＝sinq（0<q£）

则＝＝2sin（）

当q＝时，上式达到最大值。此时a²＝2，b²＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1

设椭圆Q：上的点 A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），三角形ABD的面积

S＝|y₁|＋|y₂|＝|y₁－y₂|

设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k²）y²＋2ky－1＝0

由韦达定理得y₁＋y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝（y₁－y₂）²＝（y₁＋y₂）²－4 y₁y₂＝

令t＝k²＋1³1，得4S²＝，当t＝1，k＝0时取等号。

因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。