题目内容
已知f（n）=（2n+7）?3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（ ）
| A、30 | B、26 | C、36 | D、6 |
分析：依题意，可求得f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，从而可猜得最大的m的值为36，再利用数学归纳法证明即可．
解答：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；
当n=k+1时，
[2（k+1）+7]•3k+1+9
=3[（2k+7）•3k+9]-18+2×3k+1
=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
∵3k-1-1是2的倍数，
∴18（3k-1-1）能被36整除，
∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；
当n=k+1时，
[2（k+1）+7]•3k+1+9
=3[（2k+7）•3k+9]-18+2×3k+1
=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
∵3k-1-1是2的倍数，
∴18（3k-1-1）能被36整除，
∴当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．
点评：本题考查数学归纳法，考查转化运算、猜想与推理证明的能力，属于中档题．
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