Question

设 x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点．
（1）求 a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（2）设 a＞0，g（x）=-（a²-a+1）e^x+2，问是否存在ξ₁，ξ₂∈[-2，2]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤1成立？若存在，求 a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）f'（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x（2分）
由f'（0）=0，得b=-a（4分）
∴f（x）=（x²+ax-a）e^x
f'（x）=[x²+（a+2）x]e^x=x（x+a+2）e^x．
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=-a-2
由于x=0是f（x）极值点，故x₁≠x₂，即a≠-2
当a＜-2时，x₁＜x₂，故f（x）的单调增区间是（-∞，0]和[-a-2，+∞），单调减区间是[0，-a-2]（6分）
当a＞-2时，x₁＞x₂，故f（x）的单调增区间是（-∞，-a-2]和[0，+∞），单调减区间是[-a-2，0]（8分）
（2）当a＞0时，-a-2＜-2，f（x）在[-2，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，
因此f（x）在[-2，2]上的值域为[f（0），max[f（-2），f（2）]]=[-a，（4+a）e²]（10分）
而g(x)=-(a2-a+1)ex+2=-[(a-

1

2

)2+

3

4

]ex+2在[-2，2]上单调递减，
所以值域是[-（a²-a+1）]e⁴，-（a²-a+1）]（12分）
因为在[-2，2]上，f_min（x）-g_max（x）=-a+（a²-a+1）=（a-1）²≥0（13分）
所以，a只须满足

a＞0 -a+(a2-a+1)≤1

，解得0＜a≤2
即当a∈（0，2]时，存在ξ₁、ξ₂∈[-2，2]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤1成立．（14分）