Question

设双曲线M：

x2

a2

-y²=1，点C（0，1），若直线

x= 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数）交双曲线的两渐近线于点A、B，且

.

BC

=2

.

AC

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  10

  3

• C、

  5

• D、

  10

Answer 1

分析：先求出直线AB的方程以及双曲线的两渐近线方程，联立求出点A、B的坐标以及向量的坐标，再代入已知条件即可求出a，进而求出双曲线的离心率．

解答：解：因为直线

x= 2 2 t y=1+ 2 2 t

（t为参数）的一般方程为y=x+1，双曲线的两渐近线方程为y=

1

a

x，y=-

1

a

x，
联立

y=x+1 y= 1 a x

?

x= a 1-a y= 1 1-a

，即A（

a

1-a

，

1

1-a

)，
联立

y=x+1 y=- 1 a x

?

x= a a+1 y=- 1 a+1

，即B（

a

a+1

， -

1

a+1

）．
所以

BC

=(-

a

a+1

， 1+

1

a+1

)，

AC

=（-

a

1-a

， 1-

1

1-a

），
又因为

BC

=2

AC

?-

a

a+1

=2×（-

a

1-a

）?a=-

1

3

．
所以离心率e=

a2+1

|a|

=

10

．
故选D．

点评：本题是对直线与双曲线位置关系以及双曲线性质的综合考查．是对课本知识的考查，是基础题，重点考查计算能力．