题目内容
4．曲线y=x3-3x过点（1，-2）的切线条数为（ ）| A． | 1条 | B． | 2条 | C． | 3条 | D． | 4条 |
分析 设切点坐标为P（t，-3t+t3），再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，再根据过点（1，-2）和切点的斜率等于切线的斜率，列出方程，求出斜率k，根据斜率的个数即可判断切线的条数，从而得到答案．
解答 解：设切点P（t，t3-3t），
由y=x3-3x，则y′=3x2-3，
即有在点P处切线的斜率为k=y′|x=t=3t2-3，
则有在点P处切线方程为y-t3+3t=（3t2-3）（x-t），
又切线过点（1，-2），
即有-2-t3+3t=（3t2-3）（1-t），
即为2t3-3t2+1=0，
即有（t-1）2（2t+1）=0，
解得t=1或-$\frac{1}{2}$，
即t有两个解，即k有两个解，
则过点（1，-2）与曲线相切的切线的条数是2．
故选B．
点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线的方程．解题时要特别注意是“在”还是“过”，若是不能确定是否是切点，则设出切点进行求解．此类问题是易错题，关键要注意审题．属于基础题．
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如图，四凌锥P-ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
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16．已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直，则$\frac{a}{b}$的值（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $-\frac{1}{3}$ | D． | $-\frac{2}{3}$ |