Question

某地区预计从2011年初开始的第x月，商品A的价格f(x)=

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(x2-12x+69)（x∈N，x≤12，价格单位：元），且第x月该商品的销售量g（x）=x+12（单位：万件）．（1）2011年的最低价格是多少？（2）2011年的哪一个月的销售收入最少？

Answer 1

分析：（1）由价格函数f(x)=

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(x2-12x+69)（x∈N，1≤x≤12）是二次函数，可得f（x）的最小值，即价格最低；
（2）销售收入y=f（x）•g（x），整理，得关于x的三次函数，用求导法，可以求出y的最小值，即哪个月销售收入最少；

解答：解：（1）∵价格函数为：f(x)=

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[(x-6)2+33]，（x∈N，1≤x≤12），∴当x=6时，f（x）取得最小值，
即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；
（2）设第x月的销售收入为y（万元），依题意有y=

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(x2-12x+69)(x+12)=

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(x3-75x+828)，
对y求导，得：y′=

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(3x2-75)=

3

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(x+5)(x-5)，
所以，当1≤x≤5时，y'≤0，y递减；
当5≤x≤12时，y'≥0，y递增，
所以，当x=5时，y最小，即第5个月销售收入最少；
答：2011年在第5月的销售收入最低．

点评：本题考查了二次函数，三次函数模型的应用，利用求导法求函数的最值时，常用“导数大于0，函数单调增；导数小于0，函数单调减”来判定．