Question

某企业为了适应市场要求，计划从2011年起，在每月固定投资5万元的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资总和的20%，但每月追加部分的最高限额为10万元，记第个月的投资额为a_n（万元）．
（1）求a_n与n的关系式；
（2）预计2011年全年共需投资多少万元？
（精确到0.01，参考数据：1.2²=1.44，1.2³≈1.73，1.2⁴≈2.07，1.2⁵≈2.49，1.2⁶≈2.99）

Answer 1

分析：（1）2011年1月共投资a₁万元，2月共投资a₂万元，3月共投资a₃万元，由此可推得a_n；再由a_n=s_n-s_n-1，可得s_n的解析式，从而得s_n-1、a_n的解析式；
（2）2011年全年共需投资为s₁₂=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a₁₂，计算结果即可．

解答：解：（1）2011年1月，共投资a₁=5+6万元，
2011年2月，共投资a₂=5+a₁×20%=5+（5+6）×20%万元，
2011年3月，共投资a₃=5+[a₁+a₂]×20%=5+[5+6+5+（5+6）×20%]×20%万元，
∴a_n=5+s_n-1×20%，其中s_n-1×20%≤10；
由a_n=s_n-s_n-1=5+s_n-1×20%，得5s_n-5s_n-1=25+s_n-1，
∴5s_n-6s_n-1=25，即5[s_n+25]=6[s_n-1+25]，
∴s_n+25=（s₁+25）•(

6

5

)n-1=（a₁+25）•(

6

5

)n-1=36×(

6

5

)n-1，
∴s_n=-25+36×(

6

5

)n-1，∴s_n-1=-25+36×(

6

5

)n-2；
∴a_n=5+s_n-1×20%=5+[-25+36×(

6

5

)n-2]×

1

5

=6×(

6

5

)n-1；
∵s_n-1×20%≤10，∴s_n-1≤50，即-25+36×(

6

5

)n-2≤50，得n=N=3，
当n≤N=3时，a_n=6×(

6

5

)n-1，其中a₁=11；
当n＞N=3时，a_n=5+10=15；
（2）2011年全年的投资为：
s₁₂=a₁+a₂+a₃+（a₄+a₅+…+a₁₂）=11+6×（

6

5

）+6×(

6

5

)2+9×15=11+

36

5

+

216

25

+135=146+

396

25

=161.84万元

点评：本题考查了由递推公式求数列通项的应用问题以及求数列前n项和的问题，解题时也可以直接求出数列{a_n}的每一项，然后求和．