Question

若三角形三边a、b、c满足a²+c²=b²+ac，且a：c=（

3

+1）：2，求角C的大小．

Answer 1

分析：把a²+c²=b²+ac，代入余弦定理中求得B，进而根据a：c=（

3

+1）：2，利用正弦定理求得得

sinA

sinC

=

3 +1

2

化简整理求得

3

cosC=

3

sinC求得tanC的值，进而求得C．

解答：解：由a²+c²=b²+ac，由余弦定理得cosB=

1

2ac

•（a²+c²-b²）=

1

2

故有B=60°，A+C=180°-B°=120°．A=120°-C．
再由正弦定理得

sinA

sinC

=

a

c

=

3 +1

2

∴2sinA=（

3

+1）sinC，2sin（120°-C）=（

3

+1）sinC
∴2sin120°cosC-2sinCcos120°=（

3

+1）sinC，整理得

3

cosC=

3

sinC
∴tanC=1，故得C=45°

点评：本题主要考查了正弦和余弦定理的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．