题目内容
设椭圆
(1)求椭圆的离心率;
(2)已知直线l过点M(-3,0),倾斜角为

【答案】分析:(1)设出P,Q,F坐标,利用
以及AP:PQ=8:5,求出P的坐标代入椭圆方程,即可求椭圆的离心率;
(2)利用直线l过点M(-3,0),倾斜角为
,求出直线的方程,通过圆C过A,Q,F三点,直线l恰好与圆C相切,圆心到直线的距离等于半径,求出a,b,c的值,即可求得椭圆方程.
解答:解:(1)设点Q(x,0),F(-c,0),P(x,y),其中
,A(0,b).
由AP:PQ=8:5,得
,
即
,得
,…(2分)
点P在椭圆上,∴
.①…(4分)
而
,
∴
.
∴
.②…(6分)
由①②知2b2=3ac,
∴2c2+3ac-2a2=0.
∴2e2+3e-2=0,
∴
. …(8分)
(2)由题意,得直线l的方程
,即
,
满足条件的圆心为
,
又a=2c,∴
,∴O′(c,0). …(10分)
圆半径
. …(12分)
由圆与直线l:
相切得,
,…(14分)
又a=2c,∴
.
∴椭圆方程为
. …(16分)
点评:本题是中档题,考查题意的离心率的求法,直线与圆的位置关系的应用,椭圆方程的求法,考查计算能力,转化思想,常考题型.

(2)利用直线l过点M(-3,0),倾斜角为

解答:解:(1)设点Q(x,0),F(-c,0),P(x,y),其中

由AP:PQ=8:5,得

即


点P在椭圆上,∴

而

∴

∴

由①②知2b2=3ac,
∴2c2+3ac-2a2=0.
∴2e2+3e-2=0,
∴

(2)由题意,得直线l的方程


满足条件的圆心为

又a=2c,∴

圆半径

由圆与直线l:


又a=2c,∴

∴椭圆方程为

点评:本题是中档题,考查题意的离心率的求法,直线与圆的位置关系的应用,椭圆方程的求法,考查计算能力,转化思想,常考题型.

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