Question

已知正三棱锥P-ABC底面的三个顶点A、B、C在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果VP-ABC=16

3

，则球O的表面积是

64π

．

Answer 1

分析：由题意正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，从而三角形ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，利用正三棱锥P-ABC求得球的半径，即可求出球O的表面积．

解答：解：正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上，
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上．
所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高，设为R，
由题意可知：

1

3

×

3

4

×(

3

R)2×R=16

3

解得R=4，
则球O的表面积是4πR²=4π×16=64π．
故答案为：64π

点评：本题考查球的体积和表面积及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．