题目内容

已知正三棱锥P-ABC底面的三个顶点A、B、C在球O的同一个大圆上,点P在球面上,如果VP-ABC=16
3
,则球O的表面积是
64π
64π
分析:由题意正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,从而三角形ABC的中心就是球心O,PO是球的半径,也是正三棱锥的高,利用正三棱锥P-ABC求得球的半径,即可求出球O的表面积.
解答:解:正三棱锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,
其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上.
所以ABC的中心就是球心O,PO是球的半径,也是正三棱锥的高,设为R,
由题意可知:
1
3
×
3
4
×(
3
R)
2
×R=16
3

解得R=4,
则球O的表面积是4πR2=4π×16=64π.
故答案为:64π
点评:本题考查球的体积和表面积及其他计算,考查空间想象能力,是基础题.
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