Question

设椭圆上一点P与原点O的距离为|OP|=r₁，OP的倾斜角为θ，将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q，若|OQ|=r₂，则r₁r₂的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer 1

【答案】分析：设直线OP方程为y=kx，点P（x₁，y₁），利用方程组联解的方法可得：=，=，所以r₁²=+=．同理可得到Q（x₂，y₂）满足：r₂²=+=，所以有=，化简整理，结合基本不等式，可得r₁r₂≥，当且仅当r₁=r₂，即k²=1时，r₁r₂取到最小值．
解答：解：设直线OP方程为y=kx，点P（x₁，y₁）
∵点P是椭圆与直线y=kx的交点
∴由可得：==，=k²x²=
∵点P与原点O的距离为|OP|=r₁，
∴r₁²=+==，
∵OQ是由OP绕原点逆时针旋转90°而得，
∴直线OQ方程为y=x，
再设Q（x₂，y₂），用类似于求r₁²的方法，可得r₂²=+=
∴r₁、r₂满足=，可得+=
根据基本不等式，可得+≥2r₁r₂
∴≥2r₁r₂，即r₁r₂≥，当且仅当r₁=r₂，即k²=1时，r₁r₂取到最小值
故选B
点评：本题给出椭圆上两点P、Q满足∠POQ=90°，求OP、OQ之积的最小值，着重考查了椭圆的基本概念、直线与椭圆的关系和基本不等式等知识点，属于中档题．