题目内容

在周长为定值的△ABC中,已知AB=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为
725

(Ⅰ)建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)(理)过点A作直线与(Ⅰ)中的曲线交于M,N两点,求|BM|•|BN|的最小值的集合.
(文)当点Q在(Ⅰ)中的曲线上运动时,求|PQ|的最大值的集合.
分析:(Ⅰ)P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,2c=AB,由余弦定理可得cosC=
PB2+PA2-62
2PB•PA
=
(PB+PA)2-2PB.PA-36
2PB•PA
=
2a2-18
PB•PA
-1
及基本不等式PB.PA(
2a
2
)
2
=a2
,可求cosC≥1-
18
a2
,从而可求a,及C点的轨迹方程
(Ⅱ)(理)设M(x1,y1),N(x2,y2 ),设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简(
1
25
+
k2
16
)x2+
3
8
k2x+(
9k2
16
-1)=0
,显然有△≥0,由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=(5-
3
5
x1
)(5-
3
5
x2
)及方程的根与系数的关系|BM|•|BN|取最小值,结合椭圆的
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
得性质判断M,N是否存在,使得|BM|•|BN|的最小值
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),则|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
25
16
y2
+(y-4)2
=-
9
16
(y+
64
9
)2+41+
256
9
,由-4≤y≤4且y≠0,结合二次函数的性质可求
解答:解:(Ⅰ)以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设PA+PB=2a(a>0)为定值,所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,∴焦距2c=AB=6        (1分)
cosC=
PB2+PA2-62
2PB•PA
=
(PB+PA)2-2PB.PA-36
2PB•PA
=
2a2-18
PB•PA
-1
(2分)
又∵PB.PA(
2a
2
)
2
=a2
cosC≥1-
18
a2
,此时p(0,±4),由题意得1-
18
a2
=
7
25

∴a2=25∴C点的轨迹方程为
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
(3分)
(注:y≠0没写扣(1分):文科(Ⅰ)分别为2,3,(3分),共8分)
(Ⅱ)(理)设M(x1,y1),N(x2,y2 ),
当直线MN的倾斜角不为90°时,设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简得(
1
25
+
k2
16
)x2+
3
8
k2x+(
9k2
16
-1)=0
,显然有△≥0
∴x1+x2=-
150k2
16+25k2
,x1.x2=
225k2-400
16+25k2

而由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=(5-
3
5
x1
)(5-
3
5
x2
)=25-3(x1+x2) +
9
25
x1x2
…(2分)
=25+
450k2
16+25k2
+
81k2-144
16+25k2
=25+
531k2-144
16+25k2

只考虑
16
25
+
144
531
k2+
16
25
的最小值,即考虑1-
16
25
+
144
531
k2+
16
25
的最小值,易知当k=0时,1-
16
25
+
144
531
k2+
16
25
的最小值
此时|BM|•|BN|取最小值16(2分)
当直线MN的倾斜角为90°时,x1=x2=-3得|BM|•|BN|=(
34
5
2>16;(1分)
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
,故这样的M,N不存在,即|BM|•|BN|的最小值集合为空集(1分)
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),
则|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
25
16
y2
+(y-4)2=-
9
16
(y+
64
9
)2+41+
256
9

∵-4≤y≤4且y≠0,
∴当y=-4时,|PQ|取到最大值8 集合为{8} (6分)
点评:本题主要考查了利用椭圆的性质及余弦定理求解椭圆的方程,利用函数的性质求解函数的最值问题,要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力
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