题目内容
在周长为定值的△ABC中,已知AB=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为
.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)(理)过点A作直线与(Ⅰ)中的曲线交于M,N两点,求|BM|•|BN|的最小值的集合.
(文)当点Q在(Ⅰ)中的曲线上运动时,求|PQ|的最大值的集合.
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(Ⅰ)建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程;
(Ⅱ)(理)过点A作直线与(Ⅰ)中的曲线交于M,N两点,求|BM|•|BN|的最小值的集合.
(文)当点Q在(Ⅰ)中的曲线上运动时,求|PQ|的最大值的集合.
分析:(Ⅰ)P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,2c=AB,由余弦定理可得cosC=
=
=
-1及基本不等式PB.PA≤(
)2=a2,可求cosC≥1-
,从而可求a,及C点的轨迹方程
(Ⅱ)(理)设M(x1,y1),N(x2,y2 ),设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简(
+
)x2+
k2x+(
-1)=0,显然有△≥0,由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=(5-
x1)(5-
x2)及方程的根与系数的关系|BM|•|BN|取最小值,结合椭圆的
+
=1(y≠0)得性质判断M,N是否存在,使得|BM|•|BN|的最小值
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),则|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
y2+(y-4)2
=-
(y+
)2+41+
,由-4≤y≤4且y≠0,结合二次函数的性质可求
PB2+PA2-62 |
2PB•PA |
(PB+PA)2-2PB.PA-36 |
2PB•PA |
2a2-18 |
PB•PA |
2a |
2 |
18 |
a2 |
(Ⅱ)(理)设M(x1,y1),N(x2,y2 ),设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简(
1 |
25 |
k2 |
16 |
3 |
8 |
9k2 |
16 |
3 |
5 |
3 |
5 |
x2 |
25 |
y2 |
16 |
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),则|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
25 |
16 |
=-
9 |
16 |
64 |
9 |
256 |
9 |
解答:解:(Ⅰ)以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设PA+PB=2a(a>0)为定值,所以P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,∴焦距2c=AB=6 (1分)
∵cosC=
=
=
-1(2分)
又∵PB.PA≤(
)2=a2,cosC≥1-
,此时p(0,±4),由题意得1-
=
∴a2=25∴C点的轨迹方程为
+
=1(y≠0)(3分)
(注:y≠0没写扣(1分):文科(Ⅰ)分别为2,3,(3分),共8分)
(Ⅱ)(理)设M(x1,y1),N(x2,y2 ),
当直线MN的倾斜角不为90°时,设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简得(
+
)x2+
k2x+(
-1)=0,显然有△≥0
∴x1+x2=-
,x1.x2=
而由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=(5-
x1)(5-
x2)=25-3(x1+x2) +
x1x2…(2分)
=25+
+
=25+
只考虑
的最小值,即考虑1-
的最小值,易知当k=0时,1-
的最小值
此时|BM|•|BN|取最小值16(2分)
当直线MN的倾斜角为90°时,x1=x2=-3得|BM|•|BN|=(
)2>16;(1分)
但
+
=1(y≠0),故这样的M,N不存在,即|BM|•|BN|的最小值集合为空集(1分)
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),
则|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
y2+(y-4)2=-
(y+
)2+41+
,
∵-4≤y≤4且y≠0,
∴当y=-4时,|PQ|取到最大值8 集合为{8} (6分)
∵cosC=
PB2+PA2-62 |
2PB•PA |
(PB+PA)2-2PB.PA-36 |
2PB•PA |
2a2-18 |
PB•PA |
又∵PB.PA≤(
2a |
2 |
18 |
a2 |
18 |
a2 |
7 |
25 |
∴a2=25∴C点的轨迹方程为
x2 |
25 |
y2 |
16 |
(注:y≠0没写扣(1分):文科(Ⅰ)分别为2,3,(3分),共8分)
(Ⅱ)(理)设M(x1,y1),N(x2,y2 ),
当直线MN的倾斜角不为90°时,设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简得(
1 |
25 |
k2 |
16 |
3 |
8 |
9k2 |
16 |
∴x1+x2=-
150k2 |
16+25k2 |
225k2-400 |
16+25k2 |
而由椭圆第二定义可得|BM|•|BN|=(5-
3 |
5 |
3 |
5 |
9 |
25 |
=25+
450k2 |
16+25k2 |
81k2-144 |
16+25k2 |
531k2-144 |
16+25k2 |
只考虑
| ||||
k2+
|
| ||||
k2+
|
| ||||
k2+
|
此时|BM|•|BN|取最小值16(2分)
当直线MN的倾斜角为90°时,x1=x2=-3得|BM|•|BN|=(
34 |
5 |
但
x2 |
25 |
y2 |
16 |
(文)由(Ⅰ)知P(0,±4,)不妨取P(0,4),
则|PQ|2=x2+(y-4)2=25-
25 |
16 |
9 |
16 |
64 |
9 |
256 |
9 |
∵-4≤y≤4且y≠0,
∴当y=-4时,|PQ|取到最大值8 集合为{8} (6分)
点评:本题主要考查了利用椭圆的性质及余弦定理求解椭圆的方程,利用函数的性质求解函数的最值问题,要求考试具备一定的逻辑推理与运算的能力
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