题目内容
（本题12分）某校决定为本校上学时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务．为了解学生上学所需时间，从全校600名学生中抽取50人统计上学时间（单位：分钟），现对600人随机编号为001，002，…600．抽取50位学生上学时间均不超过60分钟，将时间按如下方式分成六组，第一组上学时间在[0，10），第二组上学时间在[10，20），…第六组上学时间在[50，60]得到各组人数的频率分布直方图．如图．
（1）若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到，
且第一段的号码为006，则第五段抽取的号码是什么？
（2）若从50个样本中属于第4组和第6组的所有人
中随机抽取2人，设他们上学时间分别为a、b，求满足
|a-b|＞10的事件的概率；
（3）设学校配备的校车每辆可搭载40名学生，请根
据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车？
（1）第五段抽取的号码是054；（2）p=
；
（3）全校上学时间不少于30分钟的学生约有120人，所以估计全校需要3辆校车．
【解析】本题主要考查了系统抽样，系统抽样每个个体被抽到的概率相等，是等距抽样，以及古典概型的概率问题，属于基础题．
（I）根据抽取的50个样本，则应将600人平均分成50组，每组12人，然后利用系统抽样的原则，每组中抽出的号码应该等距即可；
（II）先由直方图知第4组频率和第6组频率，然后利用频数=样本容量×频率，求出第4组和第6组的人数，然后利用列举法将从这六人中随机抽取2人的所有情况逐一列举出来，然后将满足条件的也列举出来，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可．
（III）利用样本估计总体的方法，先算出全校上学时间不少于30分钟的学生约有多少人，从而估计全校需要几辆校车．
解：
（1）600÷50=12，第一段的号码为006，第五段抽取的数是6+（5-1）×12=54，即第五段抽取的号码是054
（2）第4组人数=0.008×10×50=4，这4人分别设为A、B、C、D
第6组人数=0.004×10×50=2，这2人分别设为x，y随机抽取2人的可能情况是：AB AC AD BC BD CD xy Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy一共15种情况，其中他们上学时间满足|a-b|＞10的情况有8种所以满足|a-b|＞10的事件的概率p=
（3）全校上学时间不少于30分钟的学生约有600×（0.008+0.008+0.004）×10=120人所以估计全校需要3辆校车．
（本小题满分12分）
某校共有800名学生，高三一次月考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：
|
组号 |
第 一 组 |
第 二 组 |
第 三 组 |
第 四 组 |
第 五 组 |
第 六 组 |
第 七 组 |
第 八 组 |
合计 |
|
分组 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
频数 |
4 |
6 |
20 |
22 |
18 |
|
10 |
5 |
|
|
频率 |
0.04 |
0.06 |
0.20 |
0.22 |
|
0.15 |
0.10 |
0.05 |
1 |
(Ⅰ) 李明同学本次数学成绩为103分，求他被抽中的概率
；
(Ⅱ) 为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生的成绩，并在这6名学生中在随机抽取2名由心理老师张老师负责面谈，求第七组至少有一名学生与张老师面谈的概率；
(Ⅲ) 估计该校本次考试的数学平均分。
（本题满分12分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共50名同学)，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表： （Ⅰ）写出a、b的值；
（Ⅱ）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；
（Ⅲ）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．
| 分组 | 频数 | 频率 |
| [45，60） | 2 | 0．04 |
| [60，75） | 4 | 0．08 |
| [75，90） | 8 | 0．16 |
| [90，105） | 11 | 0．22 |
| [105，120） | 15 | 0．30 |
| [120，135） | a | b |
| [135，150] | 4 | 0．08 |
| 合计 | 50 | 1 |
（本题满分12分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生(该班共50名同学)，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表： （Ⅰ）写出a、b的值；
（Ⅱ）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；
（Ⅲ）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分， 乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．
| 分组 | 频数 | 频率 |
| [45，60） | 2 | 0．04 |
| [60，75） | 4 | 0．08 |
| [75，90） | 8 | 0．16 |
| [90，105） | 11 | 0．22 |
| [105，120） | 15 | 0．30 |
| [120，135） | a | b |
| [135，150] | 4 | 0．08 |
| 合计 | 50 | 1 |