题目内容
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
,对任意的
且
时,有
成立.
(1)判断在
上的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式;
(3)若对任意的
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
或
或
.
【解析】
(1)利用函数单调性的定义,结合函数为奇函数以及题目所给已知条件,证得
,由此判断出函数
在
上递增.(2)根据函数的定义域和单调性列不等式组,解不等式组求得不等式的解集.(3)根据
的单调性,将问题转化为
,对
恒成立问题来求解,构造函数
,结合一次函数的性质列不等式,解不等式求得
的取值范围.
(1)证明任取且
,则
,
∵为奇函数,∴
,
∴
由已知得,
,
∴,即
,∴
在
上单调递增.
(2)∵在
上单调递增,∴
,解得
.
不等式的解集为
(3)∵,
在
上单调递增,∴在
上,
.
问题转化为,即
,对
恒成立.
设.
①若,则
,对
恒成立.
②若,则
为
的一次函数,若
,对
恒成立,必须
,且
,∴
或
.
∴的取值范围是
或
或
.
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练习册系列答案
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【题目】一个商场经销某种商品,根据以往资料统计,每位顾客采用的分期付款次数的分布列为:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0.4 | 0.2 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;采用2期或3期付款,其利润为250元;采用4期或5期付款,其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
(1)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位采用1期付款的概率;
(2)求的分布列及期望
.