Question

满足C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜200的最大自然数n等于（　　）

Answer 1

分析：令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，则有t=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+2C_n²+C_n¹，则可得2t=n×2ⁿ，再解不等式即可．

解答：解：由题意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，则有t=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+（n-2）C_n^n-2+…+2C_n²+C_n¹，
则可得2t=nC_nⁿ+nC_n^n-1+nC_n^n-2+…+nC_n²+nC_n¹+nC_n⁰=n×2ⁿ，
故n×2ⁿ＜400，
验证知，最大的n是6
故选C．

点评：本题考查组合及组合数公式，解题的关键是根据题设中的形式，利用倒序相加的方法对不等式的左边进行化简，此处考查到了二项式定理，本题较抽象，知识性强，解题时要注意公式与定理的使用．