题目内容

(2009•黄冈模拟)定义在R上的偶函数y=f(x)满足:
①对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)
②f(-5)=-1;
③当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2)x1-x2
>0则
(1)f(2009)=
-1
-1

(2)若方程f(x)=0在区间[a,6-a]上恰有3个不同实根,实数a的取值范围是
(-9,-3]
(-9,-3]
分析:(1)根据恒等式和偶函数的定义,以-x代x,求出函数的周期是12,又因2009=167×12+5,故f(2009)就是f(5)的值.
(2)根据当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0,可知函数在[0,3]上单调递增,又f(x)为偶函数,故在[-3,0]上为减函数.又f(3)=0,故可求解.
解答:解:由题意,(1)因为y=f(x)是R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),因为f(x+6)=f(x)+f(3),
所以f(-x+6)=f(-x)+f(3)=f(x)+3=f(x+6),所以f(x)关于x=6对称,
因为f(6-x)=f(6+x),所以f(-x)=f(x+12)=f(x),所以f(x)是以12为周期的函数,
∴f(2009)=f(5)=f(-5)=-1;
 (2)根据当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0,可知函数在[0,3]上单调递增
又f(x)为偶函数,故在[-3,0]上为减函数.
令x=-3,则由f(x+6)=f(x)+f(3)得f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3),故f(3)=0
因为f(x+6)=f(x)+f(3),所以f(3)=f(-3)+f(3)=0,f(x)关于x=6对称,所以f(9)=0,因为y=f(x)是R上的偶函数,f(-9)=0,f(-3)=0,因 为f(x)在[0,3]上是增函数,所以[0,3]上只有一解为3,对称性[-3,0]只有一解为-3,因为f(x+6)=f(x)+f(3),且f(x)在[0,3]上是增函数,所以f(x)在[6,9]上是增函数,所以[6,9]上只有一解为9,因为f(x)关于x=6对称,所以f(x)在[3,6]上只有一解为3,由对称性知[-9,-6],[-6,-3]各只有一解-9,-3,
要使方程f(x)=0在区间[a,6-a]上恰有3个不同实根,则a>-9,6-a≥9
∴实数a的取值范围是(-9,-3]
故答案为-1,(-9,-3]
点评:本题是一道抽象函数问题,题目的设计“小而巧”,解题的关键是巧妙的赋值,利用其奇偶性和所给的关系式得到函数的周期性,再利用周期性求函数值.灵活的“赋值法”是解决抽象函数问题的基本方法.
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