Question

画出函数f(x)=

x2+2x，(x≤0) ( 1 2 )x，(x＞0)

的图象，并据图象写出f（x）的单调区间．
（1）填写下表：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f（x）=x2+2x
f(x)=( 1 2 )x

（2）画图：
（3）f（x）的增区间是：

（-1，0）

，减区间是：

（-∞，-1）、（0，+∞）

．

Answer 1

分析：（1）根据函数的对应法则，结合指数的运算法则求出各个函数值，即可填写题中的表格；
（2）由二次函数的图象作法和指数函数的图象与性质，可得函数的图象是开口向上的抛物线y=x²+2x位于y轴左侧的部分，以及指数函数y=（

1

2

）^x位于y轴右侧部分组合而成，因此可作函数的图象；
（3）由二次函数的图象与性质和指数函数的单调性，结合（2）中作出的图象即可得到函数的单调区间．

解答：解：（1）根据函数的解析式，可得

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
f（x）=x2+2x	3	0	-1	0	3	8	15
f(x)=( 1 2 )x	8	4	2	1	1 2	1 4	1 8

（2）∵当x≤0时，f（x）=x²+2x是二次函数；当x＞0时，f（x）=（

1

2

）^x是指数函数
∴函数的图象是开口向上的抛物线y=x²+2x位于y轴左侧的部分，
以及指数函数y=（

1

2

）^x位于y轴右侧部分组合而成，
因此作出函数的图象，如右图所示
（3）∵抛物线y=x²+2x开口向上，关于直线x=-1对称
∴函数f（x）在（-∞，-1）上是减函数，且在（-1，0）上是增函数
又∵y=（

1

2

）^x的底数

1

2

∈（0，1），
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数
因此，函数y=f（x）的增区间是（-1，0），减区间是（-∞，-1）、（0，+∞）．

点评：本题给出含有指数和二次函数的分段函数，求函数的值并作函数的图象，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的单调性等知识，属于基础题．