题目内容
如图,在四棱锥A-BEFP中,AE⊥底面BEFP,BE⊥EF,,AE=1,BE=FA=PB=2.(1)求直线AE与平面ABP所成角的大小;
(2)求二面角B-AP-F的余弦值.
【答案】分析:(1)建立空间直角坐标系,确定,平面ABP的一个法向量,利用向量的夹角公式,可得结论;
(2)确定平面AFP、平面ABP的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可得到结论.
解答:解:(1)因为AE⊥底面BEFP,所以AE⊥BE,AE⊥EF,又BE⊥EF,所以AE,BE,EF三条直线两两垂直,以E为原点,EB,EF,EA分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,…..(2分)
在图2中,AE=1,BE=2,又AF=2,AE⊥EF,所以
所以,,,,
又PB=2,,所以…(4分)
∴,
设平面ABP的一个法向量,
∴,∴
令x=3,则,所以…(6分)
设直线AE与平面ABP所成的角为θ,∴
所以直线AE与平面ABP所成的角为60°….(8分)
(2)设平面AFP的一个法向量
∴,,∴
∴a=0,令,则c=3,得….(10分)
∴,….(12分)
因为二面角B-AP-F为钝角,所以二面角B-AP-F的大小余弦值为….(13分)
点评:本题考查线面角,考查面面角,考查利用向量知识解决空间角,解题的关键是确定平面法向量的坐标.
(2)确定平面AFP、平面ABP的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可得到结论.
解答:解:(1)因为AE⊥底面BEFP,所以AE⊥BE,AE⊥EF,又BE⊥EF,所以AE,BE,EF三条直线两两垂直,以E为原点,EB,EF,EA分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,…..(2分)
在图2中,AE=1,BE=2,又AF=2,AE⊥EF,所以
所以,,,,
又PB=2,,所以…(4分)
∴,
设平面ABP的一个法向量,
∴,∴
令x=3,则,所以…(6分)
设直线AE与平面ABP所成的角为θ,∴
所以直线AE与平面ABP所成的角为60°….(8分)
(2)设平面AFP的一个法向量
∴,,∴
∴a=0,令,则c=3,得….(10分)
∴,….(12分)
因为二面角B-AP-F为钝角,所以二面角B-AP-F的大小余弦值为….(13分)
点评:本题考查线面角,考查面面角,考查利用向量知识解决空间角,解题的关键是确定平面法向量的坐标.
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