Question

设实数a、b、c成等比数列，非零实数x、y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：

a

x

+

c

y

=2．

Answer 1

分析：先由a，b，c三数成等比数列，利用等比数列的性质得到b²=ac，根据x，y分别为a，b和b，c的等差中项，利用等差数列的性质得到两个关系式2x=a+b和2y=b+c，然后结合分析法整理即可得到结论．

解答：证明：因为a，b，c成等比数列
所以  b²=ac①
又x，y分别为a与b，b与c的等差中项
所以    2x=a+b，2y=b+c②
要证   

a

x

+

c

y

=2
只要证  ay+cx=2xy
只要证  2ay+2cx=4xy
由①②得   2ay+2cx=a（b+c）+c（a+b）=ab+2ac+bc；
而4xy=（a+b）（b+c）=ab+b²+ac+bc=ab+2ac+bc成立．
所以命题得证．

点评：此题考查学生灵活运用等差数列及等比数列的性质进行证明以及分析法的应用，是一道中档题．