题目内容
17、形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为
718
．分析：由题意知，此题结构上比较复杂，需要考虑的因素过多，可以采用分类计数的办法求解本题，具体分类即要考虑定义“五位波浪数”，也要考虑十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，也要考虑特殊数字0在不在首位，具体分法请看解题过程
解答：解：大的方面按十位数字、千位数字分类，十位、千位分别为7与6，7与5，7与4，7与3，7与2，6与5，6与4，6与3，6与2，5与4，5与3，5与2，4与3，共13类，下开始分类计数
若十位、千位分别为是7与6，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A51种，再安排百位与个位，共有A52，故总的种数为A22A51A52=200，
若十位、千位分别为是7与5，若7在千位，5在十位，若有6时，6必在万位，则此种情况安排方法有A52种，若无6，则须先安排万位，有A41种安排方法，其它两位有A42种安排方法即此种情况安排方法种数为A41×A42，若7在十位，5在千位，若有6，则6必在个位，再安排万位有A41种方法，百位也有A41种方法，即此种情况有A41×A41，若无6，则万位安排方法有A41种，百位与个位安排方法有A42种，此种情况有A41×A42种，本类总的安排方法有
A52+A41×A42+A41×A41+A41×A42=20+48+16+48=132
若十位、千位分别为是7与4，若7在千位，4在十位，若有6或5之一时，则此数必在万位，则此种情况安排方法有A21A42种，若无6与5，则须先安排万位，有A31种安排方法，其它两位有A32种安排方法，即此种情况安排方法种数为A31×A32，若7在十位，4在千位，若有6或5之一时，则其必在个位，再安排万位有A31种方法，百位也有A31种方法，即此种情况有A21A31×A31，若无6或5，则万位安排方法有A31种，百位与个位安排方法有A32种，此种情况有A31×A32种，本类总的安排方法有A21A42+A31×A32+A21A31×A31+A31×A32=24+18+18+18=78
若十位、千位分别为是7与3，若7在千位，3在十位，若有6，5，4之一时，则其必在万位，则此种情况安排方法有A31×A32种，若无6，5，4，则须先安排万位，有A21种安排方法，其它两位有A22种安排方法，即此种情况安排方法种数为A21×A22，若7在十位，3在千位，若有6，5，4，则其必在个位安排方法有A31，再安排万位有A21种方法，百位也有A21种方法，即此种情况有A31×A21×A21若无6，5，4，则万位安排方法有A21种，百位与个位安排方法有A22种，此种情况有A21×A22种，本类总的安排方法有A31×A32+A21×A22+A31×A21×A21+A21×A22=38
若十位、千位分别为是7与2，若7在千位，2在十位，若有6，5，4，3之一时，其必在万位，有A41种安排方法，百位与个位有A22种安排方法，则此种情况有A41×A22种安排方法，若7在十们，2在千位，安排方法有A41种，本类总的安排方法为A41×A22+A41=12，
若十位、千位分别为是6与5，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A41种，再安排百位与个位，共有A42，故总的种数为A22A41A42=96，
若十位、千位分别为是6与4，其总的安排方法有A42+A31×A32+A31×A31+A31×A32=57
若十位、千位分别为是6与3，其总的安排方法有2A32+A21×A22+2A21×A21+A21×A22=28
若十位、千位分别为是6与2，其总的安排方法有A31×A22+A31=9
若十位、千位分别为是5与4，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A31种，再安排百位与个位，共有A32，故总的种数为A22A31A32=36，
若十位、千位分别为是5与3，其总的安排方法有A32+A21×A22+A21×A21+A21×A22=18
若十位、千位分别为是5与2，其总的安排方法有A21×A22+A21=6
若十位、千位分别为是4与3，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A21种，再安排百位与个位，共有A22，故总的种数为A22A21A22=8，
故总的安排方法有200+132+78+38+12+96+57+28+9+36+18+6+8=718
若十位、千位分别为是7与6，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A51种，再安排百位与个位，共有A52，故总的种数为A22A51A52=200，
若十位、千位分别为是7与5，若7在千位，5在十位，若有6时，6必在万位，则此种情况安排方法有A52种，若无6，则须先安排万位，有A41种安排方法，其它两位有A42种安排方法即此种情况安排方法种数为A41×A42，若7在十位，5在千位，若有6，则6必在个位，再安排万位有A41种方法，百位也有A41种方法，即此种情况有A41×A41，若无6，则万位安排方法有A41种，百位与个位安排方法有A42种，此种情况有A41×A42种，本类总的安排方法有
A52+A41×A42+A41×A41+A41×A42=20+48+16+48=132
若十位、千位分别为是7与4，若7在千位，4在十位，若有6或5之一时，则此数必在万位，则此种情况安排方法有A21A42种，若无6与5，则须先安排万位，有A31种安排方法，其它两位有A32种安排方法，即此种情况安排方法种数为A31×A32，若7在十位，4在千位，若有6或5之一时，则其必在个位，再安排万位有A31种方法，百位也有A31种方法，即此种情况有A21A31×A31，若无6或5，则万位安排方法有A31种，百位与个位安排方法有A32种，此种情况有A31×A32种，本类总的安排方法有A21A42+A31×A32+A21A31×A31+A31×A32=24+18+18+18=78
若十位、千位分别为是7与3，若7在千位，3在十位，若有6，5，4之一时，则其必在万位，则此种情况安排方法有A31×A32种，若无6，5，4，则须先安排万位，有A21种安排方法，其它两位有A22种安排方法，即此种情况安排方法种数为A21×A22，若7在十位，3在千位，若有6，5，4，则其必在个位安排方法有A31，再安排万位有A21种方法，百位也有A21种方法，即此种情况有A31×A21×A21若无6，5，4，则万位安排方法有A21种，百位与个位安排方法有A22种，此种情况有A21×A22种，本类总的安排方法有A31×A32+A21×A22+A31×A21×A21+A21×A22=38
若十位、千位分别为是7与2，若7在千位，2在十位，若有6，5，4，3之一时，其必在万位，有A41种安排方法，百位与个位有A22种安排方法，则此种情况有A41×A22种安排方法，若7在十们，2在千位，安排方法有A41种，本类总的安排方法为A41×A22+A41=12，
若十位、千位分别为是6与5，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A41种，再安排百位与个位，共有A42，故总的种数为A22A41A42=96，
若十位、千位分别为是6与4，其总的安排方法有A42+A31×A32+A31×A31+A31×A32=57
若十位、千位分别为是6与3，其总的安排方法有2A32+A21×A22+2A21×A21+A21×A22=28
若十位、千位分别为是6与2，其总的安排方法有A31×A22+A31=9
若十位、千位分别为是5与4，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A31种，再安排百位与个位，共有A32，故总的种数为A22A31A32=36，
若十位、千位分别为是5与3，其总的安排方法有A32+A21×A22+A21×A21+A21×A22=18
若十位、千位分别为是5与2，其总的安排方法有A21×A22+A21=6
若十位、千位分别为是4与3，由于两数可交换位置故两者的安排有A22，再安排万位，不能取0，故A21种，再安排百位与个位，共有A22，故总的种数为A22A21A22=8，
故总的安排方法有200+132+78+38+12+96+57+28+9+36+18+6+8=718
点评：本题考查排列组合及简单计数问题，解决问题的关键是要求出指定的事件由0，1，2，3，4，5，6，7可构成不重复的“五位波浪数”的个数，则要对该问题准确分类，做到不重复，不遗漏，正确求解结果．本题极易因为分类不清出错．
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A、
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B、
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C、
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D、
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