题目内容
定义在R上的函数
为奇函数.给出下列结论:①函数f(x)的最小正周期是
;②函数f(x)的图象关于点(
,0)对称;③函数f(x)的图象关于直线
对称;④函数f(x)的最大值为
.其中所有正确结论的序号是
.
【答案】
分析:①:由题意可得f(x+5)=-f(x+
)=f(x)则函数f(x)是周期函数且其周期为5;②:由y=f(x+
)是奇函数可得其图象关于原点(0,0)对称,由y=f(x+
)向右平移
个单位长度可得y=f(x)的图象,则函数f(x)的图象关于点(
,0)对称;③:f(x+
)+f(x)=0,f(-x+
)+f(-x)=0,则f(-x+
)=f(x+
),函数f(x)的图象关于直线x=
对称;④:函数f(x)的最大值不为
.
解答:解:①:由题意可得f(x+5)=-f(x+
)=f(x)则函数f(x)是周期函数且其周期为5,故①错误;
②:由y=f(x+
)是奇函数可得其图象关于原点(0,0)对称,由y=f(x+
)向右平移
个单位长度可得y=f(x)的图象,则函数f(x)的图象关于点(
,0)对称,故②正确;
③:f(x+
)+f(x)=0
f(-x+
)+f(-x)=0
则f(-x+
)=f(x+
)
函数f(x)的图象关于直线x=
对称,故③正确;
④:函数f(x)的最大值不为
,故④不正确.
故答案为:②③.
点评:本题考查函数的周期性,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意函数性质的灵活运用.
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